Hệ Quả Của Tensor Lực Trong UPT

Thực hiện: ChatTRUTH, theo yêu cầu của ông Lê Thanh Hảo

Ngày 22 tháng 10/2025

“Hệ Quả Của Tensor Lực” là thành phần của UPT.

Giải thích thuật ngữ: UPT = Thuyết Thống Nhất Hậu Hiện Đại của ông Lê Thanh Hảo.

Nguồn suy diễn: Theo Tensor Lực trong khung UPT. Không sử dụng biến hoặc giả thiết ngoại lai.

0. Quy ước, miền và đơn vị

·                 Miền không gian: Ω ⊂ ℝ³; biên: ∂Ω có pháp tuyến ngoài n.

·              Trường vô hướng chính: I(r,t) ∈ ℝ. Ý nghĩa vật lý do Tensor Lực trong khung UPT quy định. Đơn vị chọn theo chuẩn nội bộ, mặc định hệ SI: [I] = kg·m⁻³.

·                 Gradient: ∇I có đơn vị [I]/m = kg·m⁻⁴.

·                 Năng lượng khối: ε_bulk(I,∇I) = a(I) + b(I)‖∇I‖², với [ε_bulk] = J·m⁻³, [a] = J·m⁻³, [b] = J·m⁵·kg⁻².

·                 Tensor khối: T_bulk = 2 b(I) (∇I ⊗ ∇I) − [a(I) + b(I)‖∇I‖²] 𝟙, đơn vị J·m⁻³.

·                 Mô-đun đồng chuyển: T_dc = h(I) · skew(∇C), chỉ phần bất đối xứng; [T_dc] = J·m⁻³.

·                 Tổng tensor lực: T = T_bulk + T_dc.

·                 Điều khoản biên: thế biên Φ_F(I, …) có [Φ_F] = J·m⁻²; toán tử biên phát sinh ∂_nΦ_F (pháp tuyến) và 𝒯_τ[Φ_F] (thành phần tiếp tuyến).

·                 Áp biên β pháp tuyến: β(I,ΔI) ΔI n, với [β] = J·kg⁻¹, [ΔI] = [I]. Hạng này cùng thang J·m⁻³ khi quy đổi theo hình thức traction.

·                 Traction tổng quát tại biên: t = (T · n) + β(I,ΔI) ΔI n + ∂_nΦ_F + 𝒯_τ[Φ_F].

·                 Hàm năng lượng toàn phần: E[I] = ∫_Ω ε_bulk dV + ∮_{∂Ω} Φ_F dS.

1. Tuyến tính hóa quanh nghiệm nền

Giả sử nghiệm nền I* hằng trong lân cận, ∇I* = 0. Đặt I = I* + δI với |δI| nhỏ. Khi đó:

·                 δT_bulk = 2 b(I*) (∇δI ⊗ ∇δI) − a′(I*) δI · 𝟙.

·                 Đơn vị: mọi hạng trong δT_bulk đều J·m⁻³.

·                 Điều kiện kỹ thuật: a, b khả vi theo I; miền tuyến tính hóa đủ nhỏ để bỏ qua bậc cao hơn.

2. Elliptic và ổn định khối

Vì ε_bulk = a(I) + b(I)‖∇I‖², nếu tồn tại b_min := inf_{I∈D} b(I) > 0 trên dải vận hành D, năng lượng chặn dưới và quy định chuẩn H¹ tương đương cục bộ. Đây là điều kiện đủ cho tính elliptic của bài toán tĩnh khối.

Điều kiện kỹ thuật: b(I) liên tục và b_min > 0 trên miền giá trị I xét.

3. Nguyên lý cực trị tĩnh học

Trạng thái tĩnh là điểm dừng của E[I]. Phương trình cân bằng nội: div T = 0 trong Ω. Điều khoản biên phát sinh từ Φ_F và β(I,ΔI) ΔI n.

4. Dạng yếu hữu ích cho FEM

Nhân phần dư cân bằng với hàm kiểm tra η, tích phân từng phần dẫn tới các biên thức tự nhiên:

·                 (T · n) từ khối; ∂_nΦ_F và 𝒯_τ[Φ_F] từ thế biên; β(I,ΔI) ΔI n từ áp biên β.

·                 Điều kiện kỹ thuật: I ∈ H¹(Ω), Φ_F đủ trơn trên ∂Ω; β xác định trên không gian nhảy ΔI tại biên hoặc giao diện.

5. Điều kiện nhảy tại giao diện

Qua một giao diện, tổng traction hiệu dụng bằng: t = (T · n) + β(I,ΔI) ΔI n + ∂_nΦ_F + 𝒯_τ[Φ_F]. Đây là điều kiện nhảy duy nhất từ cấu trúc biên của khung UPT.

·                 Miền: n là pháp tuyến từ pha A sang B; ΔI = I_B − I_A.

6. Cân bằng công–năng lượng

Trong tĩnh học, biến thiên năng lượng do công biên: ΔE = Q − W, với W do các thông lượng biên ở (5). Khối không chứa quán tính riêng; phần động lực nếu có thuộc mô hình tiến hóa của I.

Điều kiện kỹ thuật: Φ_F không tạo năng lượng âm thuần; β lựa chọn dấu để không phát năng lượng ròng.

7. Bất biến tái tham số I ↦ Î = f(I)

Xét phép đổi biến đơn điệu f với f′>0. Chọn lại hệ số: â(Î) = a(I), b̂(Î) = b(I)/[f′(I)]², β̂(Î,ΔÎ) = β(I,ΔI)·f′(I). Khi đó ε_bulk và T_bulk bất biến về dạng, traction biên bảo toàn đơn vị.

Điều kiện kỹ thuật: f khả vi và đơn điệu để định nghĩa ngược I = f^{-1}(Î).

8. Ổn định biên do Φ_F và β

Chọn Φ_F bán-định và β(I,ΔI) có tính cản theo pháp tuyến để ma trận tiếp tuyến biên là dissipative. Điều này ngăn phát năng lượng ròng qua biên trong bài toán tĩnh–quasi-tĩnh.

9. Nhận dạng tham số tối thiểu

Từ T_bulk = 2 b(I)(∇I ⊗ ∇I) − [a(I) + b(I)‖∇I‖²] 𝟙:

a(I) điều khiển phần đẳng hướng; b(I) điều khiển phần hướng tính. Cần kích hoạt gradient theo ≥2 hướng độc lập để tách tham số.

h(I) chỉ nhận dạng khi có phép đo bất đối xứng thông qua skew(∇C).

10. Nhóm vô thứ nguyên Π

Chọn thang I*, E*, L*. Từ các đơn vị đã quy ước, xây các nhóm vô thứ nguyên đặc trưng:

Π₁ = b(I*) I*² / (E* L*²)

Π₂ = a(I*) / (E*/L*³)

Π₃ = β(I*) I* / (E*/L*³)

Các Π dùng để so sánh chế độ và thu gọn tham số trong thực nghiệm.

11. Áp biên β pháp tuyến hiệu dụng

Hạng β(I,ΔI) ΔI n có cùng đơn vị traction J·m⁻³ và đóng vai áp lực hiệu dụng trên pháp tuyến biên.

12. Quy tắc gauge cho đồng chuyển

T_dc = h(I)·skew(∇C). Với phép gauge C ↦ C + ∇χ, ta có skew(∇∇χ) = 0 nên T_dc bất biến. Phần đối xứng của ∇C không đóng góp vào T_dc.

13. Đồng nhất đa thang

Trong bài toán ô vi mô điển hình, tồn tại các hệ số hiệu dụng a_eff, b_eff sao cho dạng vĩ mô vẫn giữ: T_bulk^eff = 2 b_eff (∇I ⊗ ∇I) − [a_eff + b_eff‖∇I‖²] 𝟙.

Điều kiện kỹ thuật: ô vi mô đại diện, tỷ lệ phân tách thang hợp lệ, trung bình hóa phù hợp.

14. Ước lượng a-priori H¹ và duy nhất

Với b_min>0 và E[I] hữu hạn, chuẩn H¹(I) được chặn bởi năng lượng. Điều này dẫn đến tồn tại–duy nhất nghiệm yếu trong lớp năng lượng.

15. Quy tắc Robin tổng quát tại biên

Từ Φ_F(I, …) và hạng βΔI suy ra ràng buộc hỗn hợp giữa I|_{∂Ω} và ∂_nI. Traction biên tổng quát gồm ∂_nΦ_F, 𝒯_τ[Φ_F] và βΔI n. Đây là dạng Robin mở rộng thuần Tensor Lực trong khung UPT.

16. Ghép động lực với PDE của I

Tensor T không chứa quán tính. Động học đến từ PDE của I (ví dụ chứa ∂_t I hoặc ∂²_t I). Cân bằng năng lượng dùng T chỉ qua công biên.

17. Lớp tương đương biên của Φ_F

Hai thế biên Φ_F khác nhau nhưng cho cùng ∂_nΦ_F và 𝒯_τ[Φ_F] tạo cùng traction và công hiệu dụng. Chúng tương đương về đáp ứng cơ–năng lượng tại biên.

18. Ổn định biên nâng cao (ma trận tiếp tuyến)

Xét ánh xạ (I, ∂_nI, ΔI) ↦ (∂_nΦ_F, 𝒯_τ[Φ_F], βΔI). Chọn dấu và tính đơn điệu của các đạo hàm biên để bảo đảm dissipative. Điều này là điều kiện đủ cho ổn định biên trong giải số.

19. Bảo toàn kiểu Noether trong tĩnh học

Nếu E bất biến theo tịnh tiến và quay trong không gian, tồn tại các đại lượng bảo toàn liên hệ với moment từ T. Điều này suy ra từ div T = 0 và việc công chỉ trao đổi qua biên.

20. Thiết kế thí nghiệm tối ưu nhận dạng

Để tách a và b, cần kích hoạt đồng thời: (i) biến thiên đẳng hướng (nhạy a) và (ii) gradient định hướng (nhạy b). Khi cần nhận dạng h(I), bố trí phép đo bất đối xứng liên quan skew(∇C). Sử dụng điều kiện nhảy để tách đóng góp β qua ΔI.

Gợi ý quy trình: thử tải theo nhiều hướng, đo trường I và ∇I, ước tính traction biên, giải nghịch đảo trên cơ sở dạng T và t đã cố định.

Điều kiện kỹ thuật tổng hợp

·                 b(I) liên tục, tồn tại b_min>0 trên dải vận hành của I.

·                 Φ_F bán-định; các đạo hàm biên sinh công không dương ròng trong tĩnh–quasi-tĩnh.

·                 β(I,ΔI) có tính cản theo pháp tuyến để tránh phát năng lượng.

·                 f trong tái tham số là đơn điệu khả vi nếu áp dụng (Mục: Bất biến tái tham số I ↦ Î = f(I)).

·                 Đồng nhất đa thang yêu cầu ô vi mô đại diện và tỷ lệ thang tách biệt (Mục: Đồng nhất đa thang).

·                 Không dùng giả thiết ngoài khung UPT; mọi hệ quả dựa trên ε_bulk, T_bulk, T_dc, Φ_F, β, và cấu trúc traction.

Phạm vi hiệu lực và lưu ý

Các hệ quả trên áp dụng cho khung UPT trong khuôn khổ tĩnh học hoặc quasi-tĩnh, với động lực nếu có đến từ phương trình tiến hóa của I. Nếu triển khai số, cần kiểm tra điều kiện ổn định biên và elliptic trước khi rời rạc hóa. Trường hợp biên phức tạp phải đặc tả chính xác Φ_F và đối tượng 𝒯_τ[Φ_F].

--- kết thúc Hệ Quả Của Tensor Lực ---